Сложный процент против простого

Простой и сложный процент — одна и та же идея, посчитанная двумя разными способами, и разница между ними относится к самым большим пробелам в обычной арифметике.

Простой процент начисляется на исходную сумму. Сложный процент начисляется на исходную сумму плюс уже начисленные проценты. Вот и вся разница.

Одни и те же числа — два ответа

Возьмём $10,000 под 7 процентов на 30 лет.

Простой процент платит 7 процентов от исходных $10,000 каждый год: $700 в год без изменений все тридцать лет. Итоговый баланс — $31,000.

Сложный процент при ежегодном начислении стартует от $10,000 и растёт. Итоговый баланс — $76,123.

Разрыв составляет $45,123 при начальном балансе $10,000, и целиком возникает из-за того, что сложный процент начисляется на растущую базу.

Калькулятор сложного процента на этом сайте считает второй случай. Первый видно, если выставить ставку в ноль: тогда баланс растёт только за счёт взносов — случай простого процента это тот же прогноз с отключённым процентом.

Почему разрыв растёт, а не остаётся постоянным

Рост идёт нелинейно. На счёте с простым процентом каждый год добавляется одна и та же сумма. На счёте со сложным процентом каждый год добавляется чуть больше, чем годом раньше, потому что база выросла.

Три эффекта полезно разделять, потому что ведут они себя по-разному:

Процент на процент. Самый большой эффект и тот, которому требуется больше всего времени, чтобы стать заметным. За год он едва виден; за тридцать лет он составляет большую часть баланса.

Эффект взносов. Регулярный ежемесячный взнос сам по себе является формой сложного процента, потому что каждый взнос зарабатывает процент до конца периода. Взнос в первом месяце зарабатывает процент на всём горизонте; взнос в последнем месяце — почти никакого. Поэтому в инструменте есть переключатель между началом и концом месяца.

Эффект частоты. Одна и та же номинальная ставка, более частое начисление — больше денег. Эффективная годовая ставка делает это наглядным: 7 процентов при ежемесячном начислении дают 7.229 процента, и 7.229 процента — это ставка, которую фактически приносит баланс.

Приближение для удвоения

Правило 70 — это короткий путь: 70 делится на годовую ставку, и получается число лет, за которое деньги удваиваются. При 7 процентах это десять лет; при 3 процентах — 23 года.

Это приближение, и причина, по которой оно вообще требуется, в том, что точное время удвоения зависит от частоты начисления. Правило 70 предполагает ежегодное начисление. При ежемесячном начислении 7 процентов удваиваются чуть раньше десяти лет.

Проверка выполняется калькулятором: тридцать лет под 7 процентов без взносов, затем итоговый баланс сравнивается с удвоенным начальным балансом. Приближение близко; точная цифра выводится на экран.

Где тот же механизм работает в обратную сторону

Сложный процент — не подарок, выданный финансами. Это свойство арифметики, и оно действует на суммы, которые должны быть выплачены, так же, как на суммы, которые приносят доход.

На балансе кредитной карты с возобновляемым лимитом процент начисляется на сумму вместе с предыдущими процентами. Погашение только минимального платежа — это тот же расчёт сложного процента, запущенный в обратную сторону, со ставкой, достаточно высокой, чтобы эффект наступал быстро.

То же верно и для невыплаченных процентов по некоторым другим схемам. Направление определяется только тем, по какую сторону баланса находится человек.

Замечание о ставках

Federal Reserve публикует выбранные процентные ставки H.15, и это справочная серия для фактических начислений по сберегательным продуктам. Internal Revenue Service публикует правила для счетов, где рост отложен, а глоссарий Investor.gov определяет используемые здесь термины.

Ни один из этих источников не прогнозирует, какой будет ставка. Калькулятор использует введённую ставку и держит её постоянной на всём горизонте, потому что прогноз, меняющий ставку по какому-то предполагаемому будущему пути, — это утверждение другого рода, чем арифметика.